viernes, 27 de junio de 2008

El Hexagrama Místico de Pascal*

Rodolfo San Agustín Chi


« …A la edad de 16 años Blais Pascal habia completado un extenso
tratado sobre las cónicas el cual, desafortunadamente se ha perdido.
Leibnitz lo vió y …, aunque también contenia al hexagrama místico…
« Afortunadamente sobrevive un documento de ocho páginas donde se
encuentra el hexagrama místico…; apareció en 1640 y fue enviado por
Mersenne a Descartes, aunque permaneció desconocido para el público
matemático por cerca de siglo y medio.»
J.L. Coolidge

En el libro perdido de Pascal Traite pour les coniques no solo estaba dicho resultado, sino sus aproximadamente 400 corolarios, según el padre Mersenne.

En general, seis puntos determinan un hexágono una vez que se les ha ordenado cíclicamente. Es decir, partimos de uno de ellos, pasamos a algún otro de ellos y así, sucesivamente, hasta llegar al último de los puntos para, finalmente, regresar al primero. Así, el teorema de Pascal, el cual enunciamos a continuación, establece la condición para que seis puntos estén en una cónica:

Un hexágono está inscrito en una cónica si y solo si las
intersecciones de sus lados opuestos están alineadas.

Llamaremos recta de Pascal de dicho hexágono a la recta mencionada en el teorema.

Seguramente fue Jakob Steiner el primero en llamar la atención de los matemáticos hacia la figura que se obtiene formando hexágonos de todas las formas posibles con seis puntos fijos en una cónica. Él observó que, de esta manera, se obtienen exactamente sesenta rectas de Pascal. Steiner mismo probó, en 1828, que las sesenta rectas de Pascal de un hexagrama concurren por ternas en veinte puntos, llamados puntos de Steiner. En 1830 Julius Plücker demostró que los puntos de Steiner están alineados, de cuatro en cuatro, sobre quince rectas, llamadas rectas de Plücker.

El rev. T.P. Kirkman probó que las rectas de Pascal pasan por ternas por otros sesenta puntos (los puntos de Kirkman). Seguramente la contribución más importante de Giussepe Veronese, en 1877, a la teoría del hexagrama místico es que la configuración de rectas de Pascal y puntos de Kirkman se descompone en seis configuraciones de Desargues.
En 1846 Sir Arthur Cayley y George Salmon probaron, independiente- mente, que los puntos de Kirkman también están alineados por ternas sobre veinte rectas (las rectas de Cayley) y Salmon, por su parte, probó que dichas rectas concurren de cuatro en cuatro en quince puntos, los puntos de Salmon.

Tomado de: http://www.hexagrama.com.mx/hexagrama_mist.htm

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